Калькулятор логарифмов
Вычисляет логарифм по любому основанию, даёт точный ответ, когда он есть, и показывает, как посчитать его на обычном калькуляторе.
Как считается
Логарифм числа x по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x:
loga x = y ⇔ ay = x; a > 0, a ≠ 1, x > 0
Если основание и число — степени одного и того же числа, ответ точный: 4 = 2², 32 = 2⁵, поэтому log₄ 32 = 5/2. Калькулятор находит это разложением на простые множители. Иначе значение считается по формуле перехода к новому основанию: log₃ 7 = ln 7 / ln 3 = 1,945910149 / 1,098612289 ≈ 1,771243749. Вычисления идут в формате двойной точности, поэтому в ответе не больше 12 значащих цифр.
Что такое логарифм
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число». Так как 2³ = 8, логарифм восьми по основанию 2 равен 3: log₂ 8 = 3. Логарифм — действие, обратное возведению в степень: если степень по основанию и показателю находит результат, то логарифм по основанию и результату находит показатель.
Ответ не обязан быть целым. log₈ 2 = 1/3, потому что кубический корень из 8 равен 2, а log₂ 3 ≈ 1,585 — это иррациональное число, его можно записать только приближённо. Калькулятор показывает точную дробь, когда она существует, и десятичное значение с выбранной точностью в остальных случаях.
Десятичный, натуральный и двоичный логарифм
У трёх оснований есть свои обозначения. Десятичный логарифм lg x — по основанию 10: lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2. Он показывает порядок числа. Натуральный логарифм ln x — по основанию e ≈ 2,718 (число Эйлера): ln 10 ≈ 2,302585093. Он появляется в формулах роста, распада, сложных процентов. Двоичный логарифм log₂ x используется в информатике: он показывает, сколько битов нужно, чтобы записать число, — например, log₂ 1024 = 10. Для быстрого выбора основания под полем есть кнопки e, 10 и 2.
Как посчитать логарифм на калькуляторе — формула перехода к новому основанию
На обычном и инженерном калькуляторе обычно есть только кнопки ln и log (десятичный). Логарифм по любому другому основанию считают делением:
loga x = ln x / ln a = lg x / lg a
Например, log₂ 3 = lg 3 / lg 2 = 0,4771 / 0,3010 ≈ 1,585. Результат проверяют возведением в степень: 2^1,585 ≈ 3. Калькулятор выше показывает оба варианта расчёта и проверку.
Свойства логарифмов
Таблица логарифмов lg и ln для чисел 1–10
Значения округлены до четырёх знаков после запятой.
Когда логарифм не существует
Логарифм определён только при положительном числе и положительном основании, не равном единице. Логарифма отрицательного числа и нуля в действительных числах нет: положительное основание в любой степени даёт положительный результат, поэтому log₂(−4) не существует. Основание 1 тоже не подходит — единица в любой степени остаётся единицей, и log₁ 5 не имеет смысла. Отрицательный логарифм при этом вполне возможен: log₂ 0,25 = −2, потому что 2⁻² = 1/4.
Чтобы найти число по известному логарифму, откройте вкладку «Найти число»: x = ay. Вкладка «Найти основание» решает уравнение loga x = y: a = x1/y, например loga 81 = 4 даёт a = 3. Работа с дробями — в калькуляторе дробей.
Вопросы и ответы
Как посчитать логарифм по основанию 2 на обычном калькуляторе?
Разделите десятичный логарифм числа на десятичный логарифм двойки: log₂ x = lg x / lg 2. Например, log₂ 10 = 1 / 0,30103 ≈ 3,3219. С кнопкой ln результат тот же: ln 10 / ln 2.
Чем отличаются lg и ln?
Основанием: lg — десятичный логарифм (основание 10), ln — натуральный (основание e ≈ 2,71828). Они связаны постоянным множителем: ln x ≈ 2,302585 · lg x.
Почему логарифм отрицательного числа не существует?
Положительное основание в любой степени даёт положительное число, поэтому получить −4 возведением 2 в степень нельзя. В действительных числах логарифм определён только для x > 0.
Чему равен логарифм единицы?
Нулю при любом допустимом основании, потому что a⁰ = 1. Так, lg 1 = ln 1 = log₂ 1 = 0.
Как найти x, если известен логарифм?
Возведите основание в степень, равную логарифму: из log₂ x = 5 следует x = 2⁵ = 32. Это делает вкладка «Найти число».
CalcTools