Как считается
Каждое число калькулятор хранит как точную дробь из целых чисел: 12,5 = 125/10, 0,24 = 24/100. Действия выполняются с этими дробями без округлений, а ответ переводится обратно в десятичную запись. Если деление не заканчивается, повторяющаяся часть записывается в скобках.
a,b × c,d: умножаем как целые, затем отделяем запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе
Например, 12,5 × 0,24: 125 × 24 = 3000, в множителях вместе 3 знака после запятой — 3,000 = 3. Перевод периодической дроби: 1,2(36) = (1236 − 12) / 990 = 1224/990 = 68/55.
Как пользоваться калькулятором десятичных дробей
У калькулятора четыре режима. «Действия» — сложение, вычитание, умножение и деление двух чисел с решением в столбик. «Выражение» — пример из нескольких действий со скобками, например 1,5 + 2,4 × 0,5 − (3,2 : 0,4); калькулятор выполнит действия в правильном порядке и покажет каждый шаг. «Перевод» — обыкновенная дробь в десятичную и обратно, включая периодические. «Округление» — до целых, десятых, сотых и дальше. Числа можно вводить и с запятой, и с точкой.
Действия с десятичными дробями в столбик
Сложение и вычитание
Десятичные дроби записывают так, чтобы запятая стояла под запятой, а недостающие разряды справа дополняют нулями: 2,35 + 1,7 считают как 2,35 + 1,70 = 4,05. Затем складывают или вычитают как целые числа и ставят запятую в ответе под запятыми.
Умножение десятичных дробей
Запятые при умножении не выравнивают. Числа умножают как целые, а в произведении отделяют справа столько знаков, сколько их после запятой в обоих множителях вместе: 3,14 × 2,5 → 314 × 25 = 7850, три знака — 7,850 = 7,85. Если цифр не хватает, слева дописывают нули: 0,2 × 0,3 = 0,06.
Деление десятичных дробей столбиком
Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому запятую в делителе и делимом переносят вправо на одинаковое число знаков, пока делитель не станет целым: 6,4 : 0,8 = 64 : 8 = 8. Дальше делят уголком; когда цифры целой части делимого закончились, в частном ставят запятую. Подробная запись уголком с пояснениями — в калькуляторе в столбик.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Чтобы перевести дробь в десятичную, числитель делят на знаменатель. Конечная десятичная дробь получится, только если знаменатель несократимой дроби раскладывается на двойки и пятёрки (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25…). Во всех остальных случаях дробь бесконечная периодическая. Сколько будет 1/3 в десятичной дроби? 0,(3) = 0,333…
| Дробь | Десятичная дробь |
|---|
| 1/2 | 0,5 |
| 1/3 | 0,(3) |
| 1/4 | 0,25 |
| 1/5 | 0,2 |
| 1/6 | 0,1(6) |
| 1/7 | 0,(142857) |
| 1/8 | 0,125 |
| 1/9 | 0,(1) |
| 1/10 | 0,1 |
| 1/11 | 0,(09) |
| 1/12 | 0,08(3) |
| 1/13 | 0,(076923) |
| 1/14 | 0,0(714285) |
| 1/15 | 0,0(6) |
| 1/16 | 0,0625 |
| 1/17 | 0,(0588235294117647) |
| 1/18 | 0,0(5) |
| 1/19 | 0,(052631578947368421) |
| 1/20 | 0,05 |
Для других дробей таблицу легко продолжить: 2/3 = 0,(6), 3/4 = 0,75, 2/5 = 0,4, 5/12 = 0,41(6). Дробь в процентах — это та же десятичная дробь, умноженная на 100: 3/8 = 0,375 = 37,5 %. Посчитать долю или процент от числа можно в калькуляторе процентов.
Периодические дроби и перевод в обыкновенную
Повторяющуюся группу цифр называют периодом и пишут в скобках: 0,41(6) — это 0,41666… Цифры между запятой и периодом называются предпериодом. Конечную десятичную дробь переводят просто: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Для периодической дроби есть правило: из числа, записанного цифрами до конца первого периода, вычитают число из цифр до периода; в знаменателе пишут столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр в предпериоде. 1,2(36) = (1236 − 12) / 990 = 68/55 = 1 13/55. Действия с обыкновенными дробями — в калькуляторе дробей.
Почему обычный калькулятор ошибается: 0,1 + 0,2
Компьютер хранит числа в двоичной системе, а 0,1 в ней — бесконечная дробь 0,0(0011), поэтому её приходится обрезать. Из-за этого в программах 0,1 + 0,2 иногда даёт 0,30000000000000004, а 2,675 округляется до 2,67 вместо 2,68. Подробнее о двоичной записи — в калькуляторе систем счисления. Наш калькулятор хранит десятичные дроби как точные дроби из целых чисел, поэтому 0,1 + 0,2 = 0,3 ровно, а округление идёт по школьному правилу: цифру 5 и больше округляем вверх.
Вопросы и ответы
Сколько будет 1/3 в десятичной дроби?
0,(3) — бесконечная периодическая дробь 0,333… Приближённо 0,33 до сотых или 0,333 до тысячных.
Как делить десятичную дробь на десятичную столбиком?
Перенесите запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе, и делите на целое число: 6,4 : 0,8 = 64 : 8 = 8.
Как умножать десятичные дроби в столбик и куда ставить запятую?
Умножьте числа как целые, не обращая внимания на запятые, и отделите справа столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе: 3,14 × 2,5 → 7850 → 7,85.
Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?
Из числа до конца первого периода вычтите число до периода и разделите на 9…90…0: девяток — по числу цифр периода, нулей — по числу цифр между запятой и периодом. 0,(3) = 3/9 = 1/3; 1,2(36) = (1236 − 12) / 990 = 68/55.
Как округлить десятичную дробь до сотых?
Посмотрите на третью цифру после запятой: если она 5 или больше, вторую увеличьте на 1, если меньше — просто отбросьте остальные цифры. 2,675 ≈ 2,68; 3,14159 ≈ 3,14.
Почему калькулятор в компьютере пишет 0,30000000000000004?
Числа 0,1 и 0,2 в двоичной системе — бесконечные дроби, и компьютер хранит их с крошечной погрешностью. Этот калькулятор считает в точных дробях, поэтому 0,1 + 0,2 = 0,3.
CalcTools